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无限与集合论(The infinite and set th

2020-07-13


集合论不只是集合的简单运算而已,康托尔的创立此一理论之初衷,是想要藉此探索无限作为一个物件的特性。

「无限」可以区分大小等级,这是几乎不可能想像得到的事物,因为这预设了无限可以视同为一种数学物件(mathematical object)。然而,数学史上如高斯这样伟大的数学家都曾经只能将无限视为一种过程(process),无怪乎利用集合来表徵无限集体的康托尔(Georg Cantor),会在十九世纪下半叶,遭受到数学界那幺巨大的反扑!

事实上,无限作为一个不会结束的过程之想法,很久以来一直是个有用的数学工具。古希腊人据以处理不可公度的量以及求曲线形面积的「穷尽法」,乃至于微积分基础概念-极限-的底层凭藉,都离不开无限的概念。然而,处理物件的无限集体,则是相当新颖的数学活动。

两个世纪以前,伟大的欧洲数学家高斯,还非常严肃地表示:「我尤其反对将一个无限的量视为一个完备的(completed) 量,因为它不被数学所容许。无限只不过是一种说法(a manner of speaking) 而已。」

高斯的评论反映了远自亚里斯多德以来有关无限的一种共同的理解。我们认识一个计数数(counting number),是因为我们看到它,不管它多大多小,而且,我们知道没有最大的这种数,因为我们总是可以将现有的数加上1。现在,如果将所有的计数数的集体(collection of counting number) 考虑成为一个独特的数学物件,这样的想法合法吗?伟大数学家康托尔就认为如此。

康托尔在研究某些类的函数时,发现它们在定义域中忽略到有限多点或可数的无限多点时,无损于这些函数的一些特性。于是,他开始注意到将不同类型的数(譬如有理数与无理数)视为相异的数学物件的重要性。康托尔有关集合之概念相当一般而且含混:「所谓集合,我们将了解它是一个任意集体,由我们的直观或思想所及的所有确定和个别的客体组合而成。」这表示数目(以及其他事物)的无限集体可以被考虑成为一个独特的数学物件,同时,正如有限集合一样,它们之间彼此可以比较。

尤其,这使得提问两个集合是否具有「同样大小」(the same size) 亦即,是否可以一一对应时,变得十分有意义。这些朴素的概念迅速地引导康托尔获得数学思想史上最具有革命性的成果。其中,包括了许多令人惊奇的结果:

不是所有的无限集合都具有相同大小!(也就是说,存在有无限集合彼此之间无法被建立一一对应关係。)无理数的集合比有理数集合来得大。一个集合的所有部份集合所成的集合,比该集合本身来得大。数线上任意区间(无论多短)内的点之集合,与这一数线上所有点的集合拥有同样大小。平面或三维空间或 $$n$$ 维空间($$n$$ 为任意自然数)上的所有点之集合,与一条(单一)线上所有点的集合拥有同样大小。

康托尔出发点的抽象单纯性,让他的集合论可应用到整个数学领域。这也使得此一令人惊奇的结果非常难以忽略,儘管它看起来违反了大部分数学家对于他们的本行之常识性理解。

康托尔的研究成果虽然得到数学社群很多成员的青睐,不过,其接受度绝非普遍。他有关无限的集合论式处理,招惹了某些同时代主要数学家,最有名的如考纳克(Leopold Kronecker) -柏林大学杰出数学教授- 的激烈反对。考纳克研究数学的进路,是奠基于一个前提,那就是:一个数学物件不会存在,除非它是经由有限多次的步骤实际建构(actually constructible) 而成。基于此一观点,无限集合并不存在,因为显然无法在有限多次的步骤中,建构无限多的元素。自然数是「无限的」,只意指目前所建构的自然数之有限集体,可以延伸到我们喜欢多远就有多远,至于「所有自然数的集合」则不是一个合法的数学概念(legitimate mathematical concept)。对考纳克及分享他的观点的那些人来说,康托尔的研究是一种异端。

考纳克的担忧,在集合论出现了很多悖论之后,显得颇有说服力。这些悖论中最着名的,莫过于罗素(Russel)在1919年所给出的那一个:「在某村庄中有一位理髮师宣称:他替全村民中那些不自己刮鬍子的人刮鬍子。如果他的宣称为真,则这位理髮师会为自己刮鬍子吗? 」运用一种稍微多一点形式的术语来说,这位刮鬍子的理髮师本身也是村民,那幺,他是不是所有不自己刮鬍子的村民所成的集合中的一个成员?如果他是,那幺,他就不可能自己刮鬍子,但是,由于他刮了所有不替自己刮鬍子的村民,所以,他终究不在本集合中。另一方面,如果他不在本集合中,那幺,他就会自刮鬍子,然而,他只替那些不自己刮鬍子的人刮鬍子,因此,他必定不刮自己的鬍子,于是,他在本集合中。看起来,在这个自相矛盾的逻辑迴圈中,根本没有出路。像这样的两难之局,逼迫十九世纪末、二十世纪初的数学家着手进行了一个有关康托集合论的彻底修订,企图避免于这种自相矛盾的险境。

儘管有这一初期的不安,康托尔的研究工作还是极其正面地影响了数学家。他的基础集合论已经为包括机率、几何以及代数等许多不同的数学领域,提供了一个简单、统合的进路。而且,在他的研究之某些早期延拓中所遭遇的奇怪悖论,激励数学家依序安顿它们的逻辑位置。他们针对数学的逻辑基础所做的细心检视,已经引出了许多新颖的结论,并且为甚至更抽象的统合理念,铺设了康庄大道。

参考书目:



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